Позиционная система
Основы позиционной системы заложили вавилоняне. В системе счисления, которую они заимствовали от своих предшественников — шумерийцев, мы с самого начала (т. е. в древнейших дошедших до нас глиняных табличках, относящихся к началу третьего тысячелетия до н. э.), видим две основные «большие единицы» — десять и шестьдесят. Откуда взялось число шестьдесят — об этом можно только догадываться. Известный историк математики О. Нейгебауэр полагает, что источником послужило отношение между основными денежными единицами, имевшими хождение в Двуречье: одна мана (по гречески мина) составляла шестьдесят шекелей. Такое объяснение не удовлетворяет нашего любопытства, ибо тотчас же возникает вопрос: а почему в мане шестьдесят шекелей? Не потому ли как раз, что в ходу была шестидесятиричная система? Ведь не потому мы считаем десятками и сотнями, что в рубле сто копеек! Ассириолог Ф.Тюро-Данжен приводит лингвистические аргументы в пользу того, что система счета была первичным явлением, а система мер — вторичным. Выбор числа шестьдесят был, очевидно, исторической случайностью, однако вряд ли можно усомниться, что этой случайности способствовала важная особенность числа шестьдесят: оно имеет необычайно много делителей: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Это свойство очень полезно и для денежной единицы (с тех пор как существуют деньги, существует и деление их поровну), и для основания системы счета, если предположить, что какой-то мудрец ввел ее, руководствуясь соображениями удобства вычислений.
Математическая культура вавилонян известна нам по текстам, относящимся к двум периодам: древневавилонскому (1800–1600 гг. до н. э.) и эпохе Селевкидов (305–64 гг. до н. э.). Сравнение их показывает, что в математике вавилонян каких-либо радикальных перемен за эти полтора тысячелетия не произошло.
Вавилоняне изображали единицу узким вертикальным клинышком
Таким образом, число 60 не только понималось как «большая единица», но и изображалось, в буквальном смысле слова, как большая единица. Соответственно появились «большие десятки» для десятикратно увеличенных больших единиц. Затем различие между большими и маленькими клиньями стерлось, они стали распознаваться по своему положению. Так возникла позиционная система. Число 747 = 12 × 60 + 27 вавилонянин записал бы в виде:
Сравнивая вавилонскую позиционную систему с современной, мы видим, что неопределенность в множителе 60 — результат отсутствия знака нуль, который мы приписали бы нужное число раз в конце целого числа или начале дробного. Другим результатом отсутствия нуля является еще более серьезная неопределенность в интерпретации числовой записи, которая соответствует тому случаю, когда мы ставим нули в промежуточных разрядах. В самом деле, как отличить в вавилонской записи число 3601 = 1 × 602 + 0 × 60 + 1 от числа 61 = 1 × 60 + 1? Оба эти числа изображаются двумя единицами. Иногда неопределенность такого рода устранялась путем отодвижения чисел друг от друга с оставлением свободного места для недостающего разряда. Но этот метод не применялся систематически и во многих случаях большой пробел между числами ничего не означал.
В астрономических таблицах эпохи Селевкидов встречается обозначение отсутствующего разряда с помощью знака, аналогичного нашей точке (разделитель фраз). В древневавилонскую эпоху ничего подобного мы не находим. Как же умудрялись древние вавилоняне избегать путаницы?
Полагают1, что разгадка состоит в следующем.
Ранние математические тексты вавилонян, дошедшие до нас, представляют собой сборники задач и их решений, созданные несомненно как учебные пособия. Их цель — обучить практическим приемам решения задач. Но ни в одном из текстов не описывается, как производить арифметические действия, в частности такие сложные для своего времени, как умножение и деление. Следовательно, предполагалось, что ученики каким-то образом умеют это делать. Так как совершенно невероятно, чтобы вычисления производились в уме, естественно предположить, что вавилоняне пользовались каким-то счетным прибором типа абака. На абаке числа выступают в своем натуральном, стихийно позиционном виде, а специальный знак для нуля не нужен, ибо бороздка, соответствующая пустому разряду, просто остается без камешков. Представление числа на абаке было основной формой задания числа, и в этом представлении не было никакой неопределенности. Числа, которые приводятся в клинописных математических текстах, играют роль поэтапных ответов, призванных контролировать правильность хода решения. Ученик делал выкладки на абаке и сверялся с глиняной табличкой. Ясно, что такому контролю отсутствие знака для пустых разрядов нисколько не препятствовало. Когда распространились объемистые астрономические таблицы, служащие уже не для контроля, а в качестве единственного источника данных, стали употреблять и разделительный знак для обозначения пустых разрядов. Однако свой «нуль» вавилоняне никогда не ставили в конце числа: очевидно, они его воспринимали именно как разделитель, но не как полноправное число.
Познакомившись с египетской и вавилонской системами записи дробей и действий над ними, греки для астрономических вычислений выбрали вавилонскую, ибо она была несравненно лучше.
Но в записи целых чисел они сохранили свою алфавитную систему. Таким образом, греческая система, употреблявшаяся в астрономии, оказалась смешанной: целая часть числа изображалась в десятичной непозиционной системе, дробная часть — шестидесятиричной позиционной.
Не слишком логичное решение для создателей логики! С их легкой руки мы и до сих пор считаем часы и градусы (угловые) десятками и сотнями, а делим их на минуты и секунды.
Зато греки ввели в позиционную систему современный знак 0 — нуль, произведя его, как полагает большинство специалистов, от первой буквы слова ????? — «ничто». При записи целых чисел (кроме числа 0) этот знак, естественно, не находил применения, ибо алфавитная система, которой пользовались греки, не была позиционной.
Современную систему записи чисел изобрели индийцы в начале VI в.н.э. Вавилонский позиционный принцип и греческий знак нуль для обозначения пустоты они применили не к основанию 60, а к основанию 10. Система получилась и последовательной, и экономной, и не противоречащей традиции, и чрезвычайно удобной для вычислений.
Индийцы передали свою систему арабам. В Европе позиционная система счисления появилась в XVI в. с переводом знаменитой арабской арифметики ал-Хорезми (ал-Хваризми). Она вступила в жестокую борьбу с традиционной римской системой и в конце концов одержала победу. Однако еще в XVI в. в Германии был издан и выдержал много изданий учебник арифметики, в котором используются исключительно «немецкие», т. е. римские цифры, или, лучше сказать, числа, так как в то время цифрами называли только знаки индийской системы. В предисловии автор пишет: «Я изложил эту счетную книгу обычными немецкими числами на благо и пользу непосвященному читателю (которому сразу трудно будет выучить цифры)». Десятичные дроби в Европе стали употреблять начиная с Симона Стевина (1548–1620).
